Question

19．已知圆锥的母线长OA=8，底面圆的半径r=2，若一只小虫从点A出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则小虫爬行的最短路线的长是8$\sqrt{2}$（结果保留根号）．

Answer 1

分析 由于圆锥的底面周长也就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角，进而构造直角三角形求得相应线段即可．

解答 解：圆锥的侧面展开图，如图所示：
∵圆锥的底面周长=2π×2=4π，
设侧面展开图的圆心角的度数为n．
∴$\frac{nπ×8}{180}$=4π，
解得n=90，
∴最短路程为：$\sqrt{{8}^{2}+{8}^{2}}$=8$\sqrt{2}$．
故答案为：$8\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是平面展开-最短路径问题，此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．