Question

11．如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠BAD=60°，将菱形ABCD绕点D按顺时针方向作第一次旋转得到菱形A₁B₁C₁D₁，使点C落在点C₁的位置，再将其绕点C₁按顺时针方向作第二次旋转，使点B₁落在点B₂的位置…如此旋转下去，当点A₂落在A₃的位置时，点A在旋转过程中经过的路径长为$\frac{8+8\sqrt{3}}{3}$cm．

Answer 1

分析 根据题意点A₂落在A₃的位置时，点A旋转了3次，第一次以D点为圆心，4cm为半径，圆心角为60°，第二次以C₁点为圆心，4$\sqrt{3}$cm为半径，圆心角为120°，第三次以B₂点为圆心，4cm为半径，圆心角为60°，求三次旋转的弧长即可．

解答 解：连接BC₁，∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，
∴∠ABC₁=90°，∠AC₁B=30°，
∵AB=4cm，
∴BC₁=4$\sqrt{3}$cm，
点A落在点A₁的经过的路径长为$\frac{60π×4}{180}$=$\frac{4π}{3}$cm，
点A₁落在点A₂的经过的路径长为$\frac{120π×4\sqrt{3}}{180}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}π$cm，
点A₂落在点A₃的经过的路径长为
∴点A在旋转过程中经过的路径长为$\frac{8+8\sqrt{3}}{3}$cm．
故答案为$\frac{8+8\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了弧长公式的计算，旋转的性质，菱形的性质，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．