Question

18．已知抛物线$y=\frac{1}{2}{x^2}+bx$经过点A（2，0）．设点C（3，-3），请在抛物线的对称轴上确定一点D，使得|AD-CD|的值最大，则D点的坐标为（1，3）．

Answer 1

分析 依照题意画出图形，连接AC交抛物线的对称轴于点D，根据三角形内两边之差小于第三边可得出此种作法得出的点D使得|AD-CD|的值最大，将点A的坐标代入抛物线解析式即可得出关于b的一元一次方程，解方程即可得出抛物线的解析式，由抛物线的解析式可得出抛物线的对称轴的解析式，由待定系数法求出直线AC的解析式，令x=1即可得出结论．

解答 解：依照题意画出图形，连接AC交抛物线的对称轴于点D，此时|AD-CD|的值最大，如图所示．

∵抛物线$y=\frac{1}{2}{x^2}+bx$经过点A（2，0），
∴有0=2+2b，解得：b=-1．
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$-x，
∴抛物线的对称轴为x=-$\frac{-1}{2×\frac{1}{2}}$=1．
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=2k+b}\\{-3=3k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-3x+6．
令x=1，则y=-3+6=3．
即点D的坐标为（1，3）．
故答案为：（1，3）．

点评 本题考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式以及三角形的三边关系，根据三角形的三边关系确定点D的位置是解题的关键．