Question

1．如图，在锐角△ABC中，∠A=60°，⊙O是△ABC的外接圆，射线BO交AC于E点．交⊙O于D点，P是射线BD上一点，且CP=CB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）当$\widehat{AD}$=$\widehat{AB}$时，求证：PC=PE．

Answer 1

分析 （1）连接OC，可得∠BOC=120°，所以∠OBC=∠OCB=30°，可得∠P=∠OBC=30°，∠DOC=60°，从而求得∠PCO=90°，即可证明；
（2）连接CD，根据圆周角定理求得∠BCD=90°，根据$\widehat{AD}$=$\widehat{AB}$，得出∠ACB=∠ACD=45°，可得∠PCE=75°，进而求得∠PEC=∠PCE=75°，即可证明．

解答 （1）证明：连接CO，
∵∠A=60°
∴∠BOC=2∠A=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∵CP=CB，
∴∠CPB=∠CBP=30°，
∵∠BOC=120°，
∴∠DOC=60°，
∴∠PCO=90°，
∴PC是⊙O的切线；

（2）连接CD，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{AB}$，
∴∠ACB=∠ACD=45°，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCD=∠PBC=30°，
∴∠PCE=∠ACD+∠PCD=75°，
∵∠P=30°，
∴∠PEC=75°，
∴∠PEC=∠PCE=75°，
∴PC=PE．

点评 本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的判定，综合性比较强，熟记定理及性质，才是解答的关键．