Question

12．已知a、b互为相反数，且|a-b|=$\frac{2}{3}$，则$\frac{a-ab+b}{{a}^{2}+ab+1}$=$\frac{1}{9}$．

Answer 1

分析 首先根据a、b互为相反数，可得a+b=0，且b=-a，然后根据|a-b|=$\frac{2}{3}$，求出a、b的值各是多少，即可求出$\frac{a-ab+b}{{a}^{2}+ab+1}$的值．

解答 解：∵a、b互为相反数，
∴a+b=0，且b=-a，
∵|a-b|=$\frac{2}{3}$，
∴|a-（-a）|=$\frac{2}{3}$，
∴2|a|=$\frac{2}{3}$，
解得a=$\frac{1}{3}$或a=-$\frac{1}{3}$，
此时b=-$\frac{1}{3}$或b=$\frac{1}{3}$．
（1）a=$\frac{1}{3}$，b=-$\frac{1}{3}$时，
$\frac{a-ab+b}{{a}^{2}+ab+1}$
=$\frac{-\frac{1}{3}×（-\frac{1}{3}）}{{（\frac{1}{3}）}^{2}+\frac{1}{3}×（-\frac{1}{3}）+1}$
=$\frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{9}-\frac{1}{9}+1}$
=$\frac{1}{9}$

（2）a=-$\frac{1}{3}$，b=$\frac{1}{3}$时，
$\frac{a-ab+b}{{a}^{2}+ab+1}$
=$\frac{-（-\frac{1}{3}）×\frac{1}{3}}{{（-\frac{1}{3}）}^{2}+（-\frac{1}{3}）×\frac{1}{3}+1}$
=$\frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{9}-\frac{1}{9}+1}$
=$\frac{1}{9}$
综上，可得
$\frac{a-ab+b}{{a}^{2}+ab+1}$=$\frac{1}{9}$．
故答案为：$\frac{1}{9}$．

点评 此题主要考查了绝对值的含义和求法，相反数的含义和求法，以及分类讨论思想的应用，要熟练掌握．