Question

19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D，E分别为AB，BC的中点，点F在CA的延长线上，∠FDA=∠B．
（1）猜想四边形AFDE是什么四边形？证明你的猜想．
（2）若AB=8，BC=10，求四边形AFDE的周长．

Answer 1

分析 （1）直接利用三角形中位线的性质结合全等三角形的判定和性质得出AF=DE，进而结合平行四边形的判定方法得出答案；
（2）利用直角三角形的性质得出AE的长，进而结合平行四边形的性质得出答案．

解答 解：（1）四边形AFDE是平行四边形，
理由：∵D，E分别为AB，BC的中点，
∴DE∥AC，DE=$\frac{1}{2}$AC，
∵∠BAC=90°，
∴∠BDE=∠BAF=90°，
∵D，E分别为AB，BC的中点，
∴AD=DB，CE=BE，
又∵∠FDA=∠B，
在△DFA和△BED中
$\left\{\begin{array}{l}{∠FDA=∠B}\\{AD=BD}\\{∠DAF=∠BDE}\end{array}\right.$
∴△DFA≌△BED（ASA），
∴AF=DE，
∵DE∥AC，
∴DE∥AF，
∴四边形AFDE是平行四边形；

（2）∵AB=8，BC=10，
∴AC=6，
∴DE=3   
∵E为BC的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$BC=5，
∴四边形AFDE的周长=2 DE+2 AE=6+10=16．

点评 此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定和性质等知识，正确应用平行四边形的性质是解题关键．