操作与证明:如图1.把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起.使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合.点E.F分别在正方形的边CB.CD上.连接AF.取AF中点M.EF的中点N.连接MD.MN．(1)连接AE.求证:△AEF是等腰三角形,(2)请判断线段MD与MN的数量与位置关系.并证明,(3)如图2.将图1中的直角三角板ECF绕� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF，取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．
（1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；
（2）请判断线段MD与MN的数量与位置关系，并证明；
（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则第（2）题中的结论还成立吗？请直接回答“成立”或“不成立”．

分析（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，证明出△AEF是等腰三角形；
（2）依据直角三角形斜边上中线的性质以及三角形的中位线的性质可得到MN与MD的数量关系，然后三角形的外角的性质和全等三角形的性质证明∠DMF=∠BAE+∠DAF，从而可证明∠DMN=∠DAB=90°；
（3）连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出MN∥AE，MN=${\frac{1}{2}}_{\;}$AE，再由（1）的结论以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．

解答（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°．
∵△CEF是等腰直角三角形，∠C=90°，
∴CE=CF．
∴BC-CE=CD-CF，即BE=DF．
∵在△ABE和△ADF中$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠B=∠D}\\{BE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF．
∴AE=AF．
∴△AEF是等腰三角形．
（2）DM=MN，DM⊥MN．
理由：∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，
∴AF=2DM．
∵MN是△AEF的中位线，
∴AE=2MN．
∵AE=AF，
∴DM=MN．
∵∠DMF=∠DAF+∠ADM，AM=MD，
∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，
∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，
∴∠DMN=∠BAD=90°，
∴DM⊥MN．
（3）成立．
理由：连接AE，交MD于点G．

∵点M为AF的中点，点N为EF的中点，
∴MN∥AE，MN=$\frac{1}{2}$AE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°．
∵△CEF是等腰直角三角形，∠C=90°，
∴CE=CF．
∴BC+CE=CD+CF，即BE=DF．
∵在△ABE和△ADF中$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠B=∠D}\\{BE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF．
∴AE=AF，∠1=∠2．
∵在Rt△ADF中，点M为AF的中点，
∴DM=$\frac{1}{2}$AF．
∴DM=MN．
∵AB∥DF，AD∥BE，
∴∠1=∠3，∠2=∠4．
∴∠3=∠4．
∵DM=AM，
∴∠MAD=∠5．
∴∠DGE=∠5+∠4=∠MAD+∠3=90°．
∵MN∥AE，
∴∠DMN=∠DGE=90°．
∴DM⊥MN．