Question

11．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠ACD=3∠BCD，E是AB的中点，求∠ECD的度数．

Answer 1

分析 先求出∠BCD和∠ACD，再根据直角三角形两锐角互余求出∠B，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE=BE，根据等边对等角可得∠BCE=∠B，再求出∠ECD=45°．

解答 解：∵∠ACB=90°，∠ACD=3∠BCD，
∴∠BCD=90°×$\frac{1}{1+3}$=22.5°，
∠ACD=90°×$\frac{3}{1+3}$=67.5°，
∵CD⊥AB，
∴∠B=90°-22.5°=67.5°，
∵E是AB的中点，∠ACB=90°，
∴CE=BE，
∴∠BCE=∠B=67.5°，
∴∠ECD=∠BCE-∠BCD=67.5°-22.5°=45°．

点评 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，熟记性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．