Question

1．在一个艺术品陈列室内，一幅画的高度为h被悬挂于墙上，其底部边缘距离人的水平视线为d（如图），问人站在离墙多远欣赏这幅画最好？（换句话说怎样使得对应的θ最大）

Answer 1

分析 设人里墙的距离为x，与画的上边缘仰角为α，与画的下边缘的仰角为β，可得tanα=$\frac{h+d}{x}$、tanβ=$\frac{d}{x}$，由tanθ=tan（α-β）=$\frac{tanα-tanβ}{1+tanαtanβ}$=$\frac{h}{x+\frac{d（h+d）}{x}}$知当x=$\frac{d（h+d）}{x}$，即x=$\sqrt{d（h+d）}$时，tanθ最大．

解答 解：如图，设人里墙的距离为x，与画的上边缘仰角为α，与画的下边缘的仰角为β，

∵tanα=$\frac{h+d}{x}$，tanβ=$\frac{d}{x}$，
∴tanθ=tan（α-β）=$\frac{tanα-tanβ}{1+tanαtanβ}$=$\frac{\frac{h+d}{x}-\frac{d}{x}}{1+\frac{d（h+d）}{{x}^{2}}}$=$\frac{h}{x+\frac{d（h+d）}{x}}$，
当x=$\frac{d（h+d）}{x}$，即x=$\sqrt{d（h+d）}$时，tanθ最大，
答：人站在离墙$\sqrt{d（h+d）}$时欣赏这幅画最好．

点评 本题主要考查视角与三角函数的应用，用含x的表达式表示出tanθ是解题的关键．