题目内容

如图，直线y=x，点A₁坐标为（1，0），过点A₁作x轴的垂线交直线于点B₁，以原点O为圆心，OB₁长为半径画弧交x轴于点A₂；再过点A₂作x轴的垂线交直线于点B₂，以原点O为圆心，OB₂长为半径画弧交x轴于点A₃；…，按照此做法进行下去，则OA_n的长为________．

（ $\text{[math]}$ ）^n-1
分析：由直线y=x的性质可知，△OA₁B₁，△OA₂B₂，…都是等腰直角三角形，且OA₂=OB₁= $\text{[math]}$ OA₁，由此可知，后一个三角形的直角边长是前一个三角形直角边长的 $\text{[math]}$ 倍，得出一般规律．
解答：∵B₁，B₂，…，B_n是直线y=x上的点，
∴△OA₁B₁，△OA₂B₂，…，△OA_nB_n都是等腰直角三角形，
由等腰三角形的性质，得OA₂=OB₁= $\text{[math]}$ OA₁，OA₃=OB₁= $\text{[math]}$ OA₂，…OA_n=OB_n-1= $\text{[math]}$ OA_n-1=（ $\text{[math]}$ ）^n-1．
故答案为：（ $\text{[math]}$ ）^n-1．
点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据特殊三角形的性质，得出直角边长之间的变化规律．