Question

如图，直线y=

3

x，点A₁坐标为（1，0），过点A₁作x的垂线交直线于点B₁，以原点O为圆心，OB₁长为半径画弧交x轴于点A₂；再过点A₂x的垂线交直线于点B₂，以原点O为圆心，OB₂长为半径画弧交x轴于点A₃，…，按此做法进行下去，点A₅的坐标为（

 

，

 

）．

Answer 1

分析：∵点A₁坐标为（1，0），且B₁A₁⊥x轴，∴B₁的横坐标为1，将其横坐标代入直线解析式就可以求出B₁的坐标，就可以求出A₁B₁的值，OA₁的值，根据锐角三角函数值就可以求出∠xOB₃的度数，从而求出OB₁的值，就可以求出OA₂值，同理可以求出OB₂、OB₃…，从而寻找出点A₂、A₃…的坐标规律，最后求出A5的坐标．

解答：解：∵点A₁坐标为（1，0），
∴OA₁=1
∵B₁A₁⊥x轴
∴点B₁的横坐标为1，且点B₁在直线上
∴y=

3

∴B₁（1，

3

）
∴A₁B₁=

3

在Rt△A₁B₁O中由勾股定理，得
OB₁=2
∴sin∠OB₁A₁=

1

2

∴∠OB₁A₁=30°
∴∠OB₁A₁=∠OB₂A₂=∠OB₃A₃=…=∠OB_nA_n=30°
∵OA₂=OB₁=2，A₂（2，0）
在Rt△OB₂A₂中，OB₂=2OA₂=4
∴OA₃=4，A3（4，0）同理，得
OA₄=8，…，0A_n=2^n-1，A_n（2^n-1，0）
∴OA₅=2^5-1=16
∴A₅（16，0）．
故答案为：（16，0）．

点评：本题是一道一次函数的综合试题，也是一道规律试题，考查了直角三角形的性质，特别是30°所对的直角边等于斜边的一半的运用，点的坐标与函数图象的关系．