Question

6．如图，等腰Rt△ABC和等腰Rt△EDB，AC=BC，DE=BD，∠ACB=∠EDB=90°，P为AE的中点
（1）连接PC、PD，则PC、PD的位置关系是PC⊥PD，数量关系是PC=PD，并证明你的结论；
（2）当E在线段AB上变化时，其它条件不变，作EF⊥BC于F，连接PF，试判断△PCF的形状；
（3）在点E运动过程中，△PCF是否可为等边三角形？若可以，试求△ACB与△EDB的两直角边之比．

Answer 1

分析 （1）作EF⊥BC于F，连接PF，作PH⊥BC于H，证明△PEF≌△PED，得到PF=PD，∠EPF=∠EPD，根据梯形中位线定理、垂直平分线的性质得到PC=PF，证明结论；
（2）作PH⊥BC于H，根据梯形中位线定理证明；
（3）设EF=BF=x，HF=y，根据等边三角形的性质得到PH=$\sqrt{3}$y，证明△BEF∽△BPH，根据相似三角形的性质计算即可．

解答 解：（1）PC⊥PD，PC=PD，
证明：作EF⊥BC于F，连接PF，作PH⊥BC于H，
则四边形EFBD是正方形，
在△PEF和△PED中，
$\left\{\begin{array}{l}{PF=PD}\\{∠PEF=∠PED}\\{PE=PE}\end{array}\right.$，
∴△PEF≌△PED，
∴PF=PD，∠EPF=∠EPD，
∵AC∥PH∥EF，P为AE的中点，
∴CH=HF，又PH⊥BC，
∴PC=PF，∠CPH=∠FPH，
∴PC=PD，∠CPD=2×45°=90°，
故答案为：PC⊥PD；PC=PD；
（2）作PH⊥BC于H，
则AC∥PH∥EF，P为AE的中点，
∴CH=HF，又PH⊥BC，
∴PC=PF，
∴△PCF为等腰三角形；
（3）设EF=BF=x，HF=y，
∵△PCF是等边三角形，
∴PH=$\sqrt{3}$y，
∵PH∥EF，
∴△BEF∽△BPH，
∴$\frac{EF}{PH}$=$\frac{BF}{BH}$，即$\frac{x}{\sqrt{3}y}$=$\frac{x}{x+y}$，
解得，y=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$x，
∵PH是梯形ACFE的中位线，
∴AC=（$\sqrt{3}$+2）x，
则△ACB与△EDB的两直角边之比为$\sqrt{3}$+2．

点评 本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、相似三角形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．