Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于E，OD⊥BC交⊙O于D，DE交BC于F，点P为CB延长线上的一点，PE延长交AC于G，PE=PF，下列4个结论：①GE=GC；②AG=GE；③OG∥BE；④∠A=∠P．其中正确的结论是_____（填写所有正确结论的序号）

Answer 1

【答案】①②③

【解析】连接OE，CE，

∵OE=OD，PE=PF，

∴∠OED=∠ODE，∠PEF=∠PFE，

∵OD⊥BC，

∴∠ODE+∠OFD=90°，

∵∠OFD=∠PFE，

∴∠OED+∠PEF=90°，

即OE⊥PE，

∵点E⊙O上，

∴PE为⊙O的切线；故①正确；

∵BC是直径，

∴∠BEC=90°，

∴∠AEC=90°

∵∠ACB=90°，

∴AC是⊙O的切线，

∴EG=CG，

∴∠GCE=∠GEC，

∵∠GCE+∠A=90°，∠GEC+∠AEG=90°，

∴∠A=∠AEG，

∴AG=EG，

∴AG=CG，

即G为AC的中点；故②正确；

∵OC=OB，

∴OG是△ABC的中位线，

∴OG∥AB，

即OG∥BE，故③正确；

在Rt△ABC中，∠A+∠ABC=90°，

在Rt△POE中，∠P+∠POE=90°，

∵OE=OB，

∴∠OBE=∠OEB，

但∠POE不一定等于∠ABC，

∴∠A不一定等于∠P．故④错误．

故答案为①②③．