题目内容

如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴上，四边形ABCO为矩形，AB=4，点D与点A关于y轴对称，cos∠ACB=
35
，点E，F分别是线段DA，AC上的动点（点E不与点A，D重合），且∠CEF=∠ACB．
（1）求证：△AEF与△DCE相似；
（2）设DE=x，y=CF，求y关于x的函数解析式，并求自变量x的取值范围．
（3）当DE的长为多少时，CF长最小，最小值为多少？并求此时△CED的内切圆的圆心G的坐标．
分析：（1）先由轴对称的性质得出AC=CD，则∠2=∠3，再根据三角形外角的性质、矩形的性质得出∠1=∠DCE，从而根据两角对应相等的两三角形相似即可证明△AEF与△DCE相似；
（2）先解直角△ABC，求出BC=3，AC=5，再由△AEF∽△DCE，根据相似三角形对应边的比相等得出
AF
DE
=
AE
DC
，进而得到y关于x的函数解析式，并由点E满足的条件即可求出自变量x的取值范围；
（3）先利用配方法将y=
1
5
x2-
6
5
x+5写成y=
1
5
（x-3）2+
16
5
，求出DE为3时，CF有最小值
16
5
，此时，点E与点O重合，设⊙G切△DCE三边于M、N、P，设EN=EM=半径r，根据切线长定理得出CP=CN=4-r，DP=DM=3-r，再由CP+DP=CD，求出r=1，从而得到点G的坐标是（-1，1）．
解答：（1）证明∵四边形ABCO为矩形，
∴OA∥BC，
∴∠2=∠4．
∵点D与点A关于y轴对称，
∴AC=CD，
∴∠2=∠3，
∴∠4=∠3．
∵∠1+∠5=∠3+∠DCE，∠5=∠4=∠3，
∴∠1=∠DCE．
在△AEF与△DCE中，
∠2=∠3
∠1=∠DCE
，
∴△AEF∽△DCE；

（2）解：∵AB=4，cos∠ACB=
3
5
，
∴BC=3，AC=5，
又∵△AEF∽△DCE，
∴
AF
DE
=
AE
DC
，
∴
5-y
x
=
6-x
5
，
解得y=
1
5
x2-
6
5
x+5．
∵点E是线段DA上的动点，点E不与点A、D重合，且DE=x，AD=6，
∴0＜x＜6．
故y=
1
5
x2-
6
5
x+5（0＜x＜6）；

（3）解：∵y=
1
5
x2-
6
5
x+5=
1
5
（x2-6x）+5=
1
5
（x-3）2+
16
5
，
∴当x=3时，y有最小值
16
5
，
即当DE的长为3时，CF长最小，最小值为
16
5
；
此时，点E与点O重合，设⊙G切△DCE三边于M、N、P，如图．
设EN=EM=半径r，则CP=CN=4-r，DP=DM=3-r，
∵CP+DP=CD，
∴4-r+3-r=5，
∴r=1，
∴点G的坐标是（-1，1）．
点评：本题考查了矩形、轴对称、三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质，切线长定理，二次函数最值的求法，综合性较强，难度适中．根据三角形外角的性质、矩形的性质得出∠1=∠DCE，进而证明△AEF∽△DCE是解题的关键．
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BD
AB
=
5
8
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5
29
5
29
．
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5
5
．
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k
x
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x
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