Question

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C=60°，AD=3，BC=7，P为BC边上的一点（不与B、C重合），过点P作∠APE=∠B，PE交CD于点E．若CE=3，求PE的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：常规题型

分析：过点A作AF∥CD交BC于点F，则四边形ADCF是平行四边形，△ABF为等边三角形，又由△APB∽△PEC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

解答：证明：过点A作AF∥CD交BC于点F，
∵AD∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠AFB=∠C=∠B=60°，
∴△ABF为等边三角形，
∴CF=AD=3，AB=BF=7-3=4，
∵△APB∽△PEC，
∴

BP

EC

=

AB

PC

，
设BP=x，则PC=7-x，
∵EC=3，AB=4，
∴

x

3

=

4

7-x

，
解得：x₁=3，x₂=4，
经检验：x₁=3，x₂=4是原分式方程的解，
当BP=4时，△CEP为等边三角形，∴PE=CP=3，
当BP=3时，PE=

21

，
∴PE的长度为3或

21

．

点评：此题考查了等腰梯形的性质、相似三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．