Question

20．如果不等式组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{2}+a-\frac{b}{2}＞2}\\{2x+a+2b＜3}\end{array}\right.$的解集是1＜x＜2，求：坐标原点到直线y=ax+b距离．

Answer 1

分析 根据不等式组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{2}+a-\frac{b}{2}＞2}\\{2x+a+2b＜3}\end{array}\right.$的解集是1＜x＜2，得到关于a，b的二元一次方程组$\left\{\begin{array}{l}{-2a+b+4=1}\\{\frac{-a-2b+3}{2}=2}\end{array}\right.$，解方程组得到a，b的值，再根据互相垂直的两条直线的关系可得经过原点并且与直线y=ax+b垂直的直线解析式，联立两直线解析式可得交点坐标，再根据勾股定理即可求解．

解答 解：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{2}+a-\frac{b}{2}＞2①}\\{2x+a+2b＜3②}\end{array}\right.$，
解①得x＞-2a+b+4，
解②得x＜$\frac{-a-2b+3}{2}$，
∵不等式组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{2}+a-\frac{b}{2}＞2}\\{2x+a+2b＜3}\end{array}\right.$的解集是1＜x＜2，
∴2a+b+4=1，
解②得x＜$\frac{-a-2b+3}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2a+b+4=1}\\{\frac{-a-2b+3}{2}=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直线y=ax+b的解析式为y=x-1，
∴经过原点并且与直线y=ax+b垂直的直线解析式为y=-x，
联立两解析式$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=-x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
由勾股定理可得坐标原点到直线y=ax+b距离为$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+（-\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 考查了一次函数与一元一次不等式，互相垂直的两条直线的关系，勾股定理，方程思想，解题的关键是得到a，b的值．