Question

4．已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=BC．
（1）如图1，若∠BAD=90°，AD=2，求CD的长度；
（2）如图2，点P、Q分别在线段AD、DC上，满足PQ=AP+CQ，求证：∠PBQ=90°-$\frac{1}{2}$∠ADC；
（3）如图3，若点Q运动到DC的延长线上，点P也运动到DA的延长线上时，仍然满足PQ=AP+CQ，则（2）中的结论是否成立？若成立，请给出证明过程；若不成立，请写出∠PBQ与∠ADC的数量关系，并给出证明过程．

Answer 1

分析 （1）如图1，利用HL证得两个直角三角形全等：Rt△BAD≌Rt△BCD，则其对应边相等：AD=DC=2；
（2）如图2，延长DC，在上面找一点K，使得CK=AP，连接BK，通过证△BPA≌△BCK（SAS）得到：∠1=∠2，BP=BK．然后由全等三角形△PBQ≌△BKQ的徐表格中求得∠PBQ=$\frac{1}{2}$∠ABC，结合已知条件“∠ABC+∠ADC=180°”可以推知∠PBQ=90°-$\frac{1}{2}$∠ADC；
（3）（2）中结论不成立，应该是：∠PBQ=90°+$\frac{1}{2}$∠ADC．
如图3，在CD延长线上找一点K，使得KC=AP，连接BK，构建全等三角形：△BPA≌△BCK（SAS），由该全等三角形的性质和全等三角形的判定定理SSS证得：△PBQ≌△BKQ，则其对应角相等：∠PBQ=∠KBQ，结合四边形的内角和是360度可以推得：∠PBQ=90°+$\frac{1}{2}$∠ADC．

解答 （1）解：如图1，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠BAD=90°，
∴∠BCD=90°，
在Rt△BAD和Rt△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BD}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴Rt△BAD≌Rt△BCD（HL），
∴AD=DC=2，
∴DC=2；

（2）如图2，延长DC，在上面找一点K，使得CK=AP，连接BK，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠BAD+∠BCD=180°．
∵∠BCD+∠BCK=180°，
∴∠BAD=∠BCK，
在△BPA和△BCK中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=CK}\\{∠BAP=∠BCK}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△BPA≌△BCK（SAS），
∴∠1=∠2，BP=BK．
∵PQ=AP+CQ，
∴PQ=QK，
∵在△PBQ和△BKQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{BP=BK}\\{BQ=BQ}\\{PQ=KQ}\end{array}\right.$，
∴△PBQ≌△BKQ（SSS），
∴∠PBQ=∠KBQ，
∴∠PBQ=∠2+∠CBQ=∠1+∠CBQ，
∴∠PBQ=$\frac{1}{2}$∠ABC．
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=180°-∠ADC，
∴$\frac{1}{2}$∠ABC=90°-$\frac{1}{2}$∠ADC，
∴∠PBQ=90°-$\frac{1}{2}$∠ADC；

（3）（2）中结论不成立，应该是：∠PBQ=90°+$\frac{1}{2}$∠ADC．
如图3，在CD延长线上找一点K，使得KC=AP，连接BK，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠BAD+∠BCD=180°．
∵∠BAD+∠PAB=180°，
∴∠PAB=∠BCK．
在△BPA和△BCK中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=CK}\\{∠BAP=∠BCK}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△BPA≌△BCK（SAS），
∴∠ABP=∠CBK，BP=BK，
∴∠PBK=∠ABC．
∵PQ=AP+CQ，
∴PQ=QK，
在△PBQ和△BKQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{BP=BK}\\{BQ=BQ}\\{PQ=KQ}\end{array}\right.$，
∴△PBQ≌△BKQ（SSS），
∴∠PBQ=∠KBQ，
∴2∠PBQ+∠PBK=2∠PBQ+∠ABC=360°，
∴2∠PBQ+（180°-∠ADC）=360°，
∴∠PBQ=90°+$\frac{1}{2}$∠ADC．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．