Question

18．求m的取值范围，使关于x的方程x²+2（m-1）x+2m+6=0；
（1）有一正一负两个根；
（2）有两个实根，其中一个根大于1，另一个根小于1；
（3）有两个实根，其中一个根大于4，另一个根小于1；
（4）有两个相异根且都大于1．

Answer 1

分析 （1）有一正一负两个根时，△＞0，且两根之积＜0；
（2）有两个实根时，△≥0，且（x₁-1）（x₂-1）＜0，据此列出方程组并解答即可；
（3）依题意得到：△≥0，且f（1）＜0且f（4）＞0，据此列出方程组并解答即可；
（4）有两个相异根且都大于1时，△＞0，且f（1）＞0、两根之积＞1，两根之和＞2．

解答 解：（1）依题意得：$\left\{\begin{array}{l}{△=4（m-1）^{2}-4（2m+6）＞0}\\{2m+6＜0}\end{array}\right.$，
解得m＜-3；

（2）依题意得：$\left\{\begin{array}{l}{△=4（m-1）^{2}-4（2m+6）≥0}\\{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）＜0}\end{array}\right.$，
整理，得
$\left\{\begin{array}{l}{（m-5）（m+1）≥0}\\{4m+5＜0}\end{array}\right.$，
解得m＜-$\frac{5}{4}$；

（3）依题意得：$\left\{\begin{array}{l}{△=4（m-1）^{2}-4（2m+6）≥0}\\{1+2（m-1）+2m+6＜0}\\{16+8（m-1）+2m+6＞0}\end{array}\right.$，
解得-$\frac{7}{5}$＜m＜-$\frac{5}{4}$；

（4）依题意得：$\left\{\begin{array}{l}{△=4（m-1）^{2}-4（2m+6）＞0}\\{1+2（m-1）+2m+6＞0}\\{2（1-m）＞2}\\{2m+6＞1}\end{array}\right.$，
解得-$\frac{5}{2}$＜m＜-$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查了一元二次方程根的分布，其中根据已知结合一元二次方程根的个数与△的关系和韦达定理，构造关于m的不等式是解答的关键．