Question

5．如图，在正方形ABCD中，点E是边AB的中点，过点A作DE的垂线，垂足为F，过点B作DE的垂线，垂足为G，过点A作BG的垂线，垂足为H．求证：四边形AFGH是正方形．

Answer 1

分析 根据垂线的定义，可得∠AFG，∠FGH，∠AHG，根据矩形的判定，可得AHGF的形状，根据余角的性质，可得∠DAF与∠HAB，根据全等三角形的判定与性质，可得AH与AF的关系，根据正方形的定义，可得答案．

解答 证明：∵过点A作DE的垂线，垂足为F，过点B作DE的垂线，垂足为G，过点A作BG的垂线，垂足为H，
∴∠AFG=∠FGH=∠AHG=90°，
∴四边形AFGH是矩形．
∵∠DAF+∠FAE=90°，∠HAB+∠FAE=90°，
∴∠DAF=∠BAH．
∵正方形ABCD，
∴AB=AD．
在△AFD和△AHB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAD=∠HAB}\\{∠AFD=∠AHB}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△AFD≌△AHB（AAS），
∴AF=AH，
∴四边形AFGH是正方形．

点评 本题考查了正方形的判定与性质，利用了矩形的判定，全等三角形的判定与性质得出AF=AH是解题关键，又利用了正方形的判定．