Question

如图，两圆同心，半径分别为6与8，又矩形ABCD的边AB和CD分别为小大两圆的弦．则当矩形ABCD面积最大时，求此矩形的周长．

Answer 1

分析：根据垂径定理可以证明S_△AOM=

1

4

S_矩形AMPB，然后根据S_△AOD=

1

2

OA•OD•sin∠AOD，当∠AOD=90°，矩形的面积最大，即可求得AD的长，AB就是AD的弦心距的2倍，根据直角三角形的面积即可求解，进而求得矩形的周长．

解答：解：作OM⊥AD于点M，ON⊥AB于点N，OP⊥BC于点P．则四边形ANOM是矩形．
∴S_△AOM=S_△AON，
同理，S_△OBN=S_△OPB，
∵ON⊥AB，
∴AN=BN，则OM=OP，
∴△OAM≌△OBP
∴S_△AOM=

1

4

S_矩形AMPB，
同理，S_△OMD=

1

4

S_矩形MPCD，
∴S_△AOD=

1

4

S_矩形ABCD．
又∵S_△AOD=

1

2

OA•OD•sin∠AOD=

1

2

×6×8sin∠AOD=24sin∠AOD，
当∠AOD=90°时，S_△AOD的面积最大，此时矩形ABCD的面积最大．
在直角△AOD中，OA=6，OD=8，
∴AD=

OA2+OD2

=

62+82

=10，则BC=AD=10．
∵S_△AOD=

1

2

AD•OM=

1

2

OA•OB，
∴OM=

OA•OB

AB

=

6×8

10

=4.8cm．
∴AB=CD=2AN=2OM=9.6cm．
则矩形ABCD的周长是：2（9.6+10）=39.2cm．

点评：本题主要考查了垂径定理的应用，利用垂径定理可以把求弦长或圆心角的问题转化为解直角三角形的问题．