Question

一园林设计师要使用长度为4L的材料建造如图1所示的花圃，该花圃是由四个形状、大小完全一样的扇环面组成，每个扇环面如图2所示，它是以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过O点的两条直线段围成，为使得绿化效果最佳，还须使得扇环面积最大．
（1）求使图1花圃面积为最大时R-r的值及此时花圃面积，其中R、r分别为大圆和小圆的半径；
（2）若L=160m，r=10m，求使图2面积为最大时的θ值．

Answer 1

分析：（1）要求图1花圃面积，就要求出一个大扇形减一个小扇形的面积，然后再利用函数分析讨论最大值．
设图2扇环的圆心角为θ，面积为S，根据题意得：L=

θπR

180

+

θπr

180

+2（R-r）=θ•

π(R+r)

180

+2（R-r）．求出θ，S的关系式．最后可求得S在R-r=

L

4

时为最大，最大值为

L2

16

．
（2）把值代入上式计算即可．根据（1）可得当R-r=

L

4

时，S取值最大．把L的值代入可得解．

解答：解：（1）若使形如图1花圃面积为最大，则必定要求图2扇环面积最大．
设图2扇环的圆心角为θ，面积为S，根据题意得：L=

θπR

180

+

θπr

180

+2（R-r），（2分）
L=θ•

π(R+r)

180

+2（R-r）
180L-360（R-r）=π（R+r）θ
∴θ=

180[L-2(R-r)]

π(R+r)

．（3分）
∴S=

θπR2

360

-

θπr2

360

=

π

360

•θ•(R2-r2)（4分）
=

π

360

•

180[L-2(R-r)]

π(R+r)

•(R2-r2)
=

1

2

[L-2（R-r）]•（R-r）=-[（R-r）-

L

4

]²+

L2

16

．（5分）
∵式中0＜R-r＜

L

2

，
∴S在R-r=

L

4

时为最大，最大值为

L2

16

．（6分）
∴花圃面积最大时R-r的值为

L

4

，最大面积为

L2

16

×4=

L2

4

．（7分）．

（2）∵当R-r=

L

4

时，S取值最大，
∴R-r=

L

4

=

160

4

=40（m），R=40+r=40+10=50（m）．（8分）
∴θ=

180[L-2(R-r)]

π(R+r)

=

180×(160-2×40)

π×60

=

240

π

（度）．（10分）

点评：本题综合考查了扇形的面积计算和函数有关知识．