Question

【题目】综合与探究

如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且点是的平分线与抛物线的交点．

求抛物线的解析式及点的坐标；

点在平面直角坐标系内，且以点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点的坐标．

若点是直线上方抛物线上的一个动点，且点的横坐标为请写出的面积与之间的关系式，并求出为何值时，的面积有最大值，最大值为多少．

Answer 1

【答案】(1) ， ；(2) ；(3) 时，有最大值，最大值为

【解析】

（1）根据，可得，再利用待定系数法即可求得，再根据点是的平分线与抛物线的交点，可设，代入抛物线，即可求解．

（2）分以OB、OD为邻边的平行四边形、以OB、BD为邻边的平行四边形、以DB、OD为邻边的平行四边形三种情况 ．

（3）作直线轴于点交于点，点坐标为，设直线的解析式，根据，可得直线解析式为，，即可求解．

把两点代入抛物线

可得

得抛物线解析式为

点是的平分线与抛物线的交点，

设，代入抛物线

得(舍去，因为点第一象限)

（2）

连接BD

若是以OB、OD为邻边的平行四边形

则

故只需把点D向右平移3个单位即得到点

由（1）知D(2,2)

∴

若是以OB、BD为邻边的平行四边形

则

故只需把点D向左平移3个单位即得到点

∴

若是以DB、OD为邻边的平行四边形

则OD∥

则只需把点D向下平移2个单位再向右平移1个单位即得到B，对应地只需把点O向下平移2个单位再向右平移1个单位即得到

∴

综上所述，满足条件的E点坐标为：．

作直线轴于点交于点

点坐标为

设直线的解析式.

解得：

可得直线解析式为

时，有最大值，最大值为