Question

10．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，4），B（5，0），C（0，-2）．在第一象限找一点D，使四边形AOBD成为平行四边形，
（1）点D的坐标是（8，4）；
（2）连接OD，线段OD、AB的关系是OD与AB互相垂直平分；
（3）若点P在线段OD上，且使PC+PB最小，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质即可得到结论；
（2）根据A（3，4），B（5，0），得到OA=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，OB=5，根据菱形的性质即可得到结论；
（3）连接AC交OD于点P，点P即是所求点，求得直线OD的函数表达式为y=$\frac{1}{2}$x；过点C、A的一次函数表达式为y=2x-2，解方程组即可得到结论．

解答 解：（1）如图所示，D（8，4）；
故答案为：（8，4）；

（2）∵A（3，4），B（5，0），
∴OA=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，OB=5，
∴?AOBD是菱形，
∴OD与AB互相垂直平分；
故答案为：OD与AB互相垂直平分；

（3）连接AC交OD于点P，点P即是所求点，
设经过点O、D的函数表达式为y=k₁x+b，则有方程4=8k₁，
∴k₁=$\frac{1}{2}$，
∴直线OD的函数表达式为y=$\frac{1}{2}$x；
设过点C、A的一次函数表达式为y=k₂x+b，
则有方程组$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{3{k}_{1}+b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{{k}_{2}=2}\end{array}\right.$，
∴过点C、A的一次函数表达式为y=2x-2，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=2x-2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{y=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
∴点P（$\frac{4}{3}$，$\frac{2}{3}$）．

点评 本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，轴对称-最短距离问题，正确的理解题意即可得到结论．