Question

1．如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，A（-3，0），B（0，1），C（m，n）．
（1）请直接写出C点坐标．
（2）将△ABC沿x轴的正方向平移t个单位，B′、C′两点的对应点、正好落在反比例函数y=$\frac{k}{x}$在第一象限内图象上．请求出t，k的值．
（3）在（2）的条件下，问是否存x轴上的点M和反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象上的点N，使得以B′、C′，M，N为顶点的四边形构成平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的点M和点N的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，可证得△ADC≌△BOA，继而求得C点坐标；
（2）首先设向右平移了t个单位长度，则点B′的坐标为（t，1）、C′的坐标为（t-4，3），由B′、C′正好落在某反比例函数图象上，即可得t=3（t-4），继而求得m的值，则可求得各点的坐标，于是得到结论；
（3）如图2，当MN为平行四边形MC′NB′的对角线时，如图3，当MC′为平行四边形MC′NB′的对角线时，如图4，当MB′为平行四边形MC′NB′的对角线时，根据中点坐标公式即可得到结论．

解答 解：（1）如图1，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠ADC=∠AOB=90°，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵Rt△ABC，∠A=90°，
∴∠DAC+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠ACD，
在△ADC和△BOA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠BOA}\\{∠ACD=∠BAO}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△BOA（AAS），
∴AD=OB=1，CD=OA=3，
∴OD=OA+AD=4，
∴C点坐标为：（-4，3）；

（2）设向右平移了t个单位长度，则点B′的坐标为（t，1）、C′的坐标为（t-4，3），
∵B′、C′正好落在某反比例函数图象上，
∴t=3（t-4），
解得：t=6，
∴B′（6，1），C′（2，3），
∴k=6，
∴反比例函数的解析式为：y=$\frac{6}{x}$；

（3）存在，如图2，当MN为平行四边形MC′NB′的对角线时，
由平行四边形的对角线互相平分，可知B′C′，MN的中点为同一个点，
即$\frac{3+1}{2}$=$\frac{{y}_{N}+0}{2}$，
∴y_N=4代入y=$\frac{6}{x}$得x_N=1.5，
∴N（1.5，4）；
∵$\frac{2+6}{2}$=$\frac{{x}_{M}+1.5}{2}$，
∴x_M=6.5，
∴M（6.5，0）；
如图3，当MC′为平行四边形MC′NB′的对角线时，同理可得M（7，0），N（3，2）；
如图4，当MB′为平行四边形MC′NB′的对角线时，同理可得M（-7，0），N（-3，2）；
综上所述：存在M（6.5，0），N（1.5，4）或M（7，0），N（3，2）或M（-7，0），N（-3，2），使得以B′、C′，M，N为顶点的四边形构成平行四边形．

点评 此题属于反比例函数综合题．考查了待定系数求函数解析式、平移的性质以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．