Question

9．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆经过A，B两点，点D在⊙O上，BD=BA，∠DAC=2∠ABC，⊙O交BC于点E，AD交BC于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AB=3，AC=$\sqrt{5}$，求BC长．

Answer 1

分析 （1）连接OA，如图，先证明∠DAC=∠AOC，再由BD=BA得$\widehat{AB}$=$\widehat{DB}$，则利用垂径定理的推论得BE⊥AD，则∠AOC+∠OAD=90°，所以∠DAC+∠OAD=90°，即∠OAC=90°，于是根据切线的判定定理得到AC是⊙O切线；
（2）连结AE，如图，先证明△CAE∽△CBA得$\frac{AE}{3}$=$\frac{CE}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{BC}$，设AE=3x，则CE=$\sqrt{5}$x，BC=$\frac{\sqrt{5}}{x}$，所以BE=BC-CE=$\frac{\sqrt{5}}{x}$-$\sqrt{5}$x，再在Rt△ABE中利用勾股定理得到3²+（3x）²=（$\frac{\sqrt{5}}{x}$-$\sqrt{5}$x）²，然后解方程求出x即可得到BC的长．

解答 （1）证明：连接OA，如图，
∵∠DAC=2∠ABC，∠AOC=2∠ABC，
∴∠DAC=∠AOC，
∵BD=BA，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{DB}$，
∴BE⊥AD，
∴∠AOC+∠OAD=90°，
∴∠DAC+∠OAD=90°，
即∠OAC=90°，
∴OA⊥AC，
∴AC是⊙O切线；
（2）解：连结AE，如图，
∵BE为直径，
∴∠BAE=90°，即∠OAB+∠OAE=90°，
而∠OAC=90°，即∠CAE+∠OAE=90°，
∴∠CAE=∠OAB，
而∠OAB=∠OBA，
∴∠CAE=∠CBA，
∵∠ACE=∠BCA，
∴△CAE∽△CBA，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{CE}{AC}$=$\frac{AC}{BC}$，即$\frac{AE}{3}$=$\frac{CE}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{BC}$，
设AE=3x，则CE=$\sqrt{5}$x，BC=$\frac{\sqrt{5}}{x}$，
∴BE=BC-CE=$\frac{\sqrt{5}}{x}$-$\sqrt{5}$x，
在Rt△ABE中，∵AB²+AE²=BE²，
∴3²+（3x）²=（$\frac{\sqrt{5}}{x}$-$\sqrt{5}$x）²，
整理得4x⁴+19x²-5=0，解得x=$\frac{1}{2}$，
∴BC=$\frac{\sqrt{5}}{\frac{1}{2}}$=2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质．