Question

20．如图1，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若M是抛物线的对称轴与直线BC的交点，N是抛物线的顶点，求MN的长；
（3）设点P是（1）中的抛物线上的一个动点，是否存在满足S_△PAB=8的点P？若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把点A、B的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；
（2）结合抛物线的解析式得到点C、N的坐标，利用B、C的坐标可以求得直线BC的解析式，由一次函数图象上点的坐标特征和点的坐标与图形的性质进行解答即可；
（3）根据P点在抛物线上设出P点，然后再由S_△PAB=8，从而求出P点坐标．

解答 解：（1）如图1，∵抛物线y=x²+bx+c与x轴的两个交点分别为A（-1，0），B（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{（-1）^{2}-b+c=0}\\{{3}^{2}+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解之得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴所求抛物线的解析式为：y=x²-2x-3；

（2）由（1）知，该抛物线的解析式为：y=x²-2x-3，则C（0，-3）．
又∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴N（1，-4）．
设直线BC的解析式为y=kx-3（k≠0）．
把B（3，0）代入，得
0=3k-3，
解得k=1，则该直线解析式为：y=x-3．
故当x=1时，y=-2，即M（1，-2），
∴MN=|-3|-|-2|=1．即MN=1；

（3）设点P的坐标为（x，y），由题意，得
S_△PAB=$\frac{1}{2}$×4×|y|=8，
∴|y|=4，
∴y=±4．
当y=4时，x²-2x-3=4，
∴x₁=1+2$\sqrt{2}$，x₂=1-2$\sqrt{2}$，
当y=-4时，x²-2x-3=-4，
∴x=1，
∴当P点的坐标分别为（1+2$\sqrt{2}$，4）、（1-2$\sqrt{2}$，4）、（1，-4）时，S_△PAB=8．

点评 本题考查了二次函数综合题．
第（1）题考查用待定系数法求二次函数的解析式，比较简单；
第（2）题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，抛物线解析式的三种形式间的转化；
第（2）题主要考查函数的性质及函数图象点的坐标，把三角形面积公式同函数联系起来，是一种比较常见的题型．