Question

3．操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q，设A、P两点间的距离为x．
探究：
（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察到的结论；
（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应x的值；如果不可能，试说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点P作MN∥BC，分别交AB、CD于点M、N，根据矩形的性质和直角三角形的性质，可证明△QNP≌△PMB，可证明PQ=PB；
（2）设AP=x，结合（1）的结论可分别表示出AM、BM、CQ和PN，可表示出△PBC和△PCQ的面积，从而表示出四边形PBCQ的面积，从而得到y与x的关系式；
（3）△PCQ可以成为等腰三角形．当点Q在DC边上时，利用勾股定理可得到x的方程；当点Q在DC的延长线上时，由PQ=CQ，可得到x的方程；当Q与点C重合时，不满足条件；从而可求得满足条件的x的值，

解答 （1）证明：过点P作MN∥BC，分别交AB、CD于点M、N，如图1，

则四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰三角形，
∴NP=NC=MB．
∵∠BPQ=90°，
∴∠QPN+∠BPM=90°，而∠BPM+∠PBM=90°，
∴∠QPN=∠PBM．
又∵∠QNP=∠PMB=90°
在△QNP和△PMB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠QPN=∠PBM}\\{NP=MB}\\{∠QNP=∠PMB}\end{array}\right.$，
∴△QNP≌△PMB（ASA），
∴PQ=PB；
（2）解：由（1）知△QNP≌△PMB，得NQ=MP．
设AP=x，则AM=MP=NQ=DN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，BM=PN=CN=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∴CQ=CD-DQ=1-2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=1-$\sqrt{2}$x
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}$BC•BM=$\frac{1}{2}$×1×（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{4}$x，
S_△PCQ=$\frac{1}{2}$CQ•PN=$\frac{1}{2}$×（1-$\sqrt{2}$x）（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$x+$\frac{1}{2}$x²，
∴S_{四边形PBCQ}=S_△PBC+S_△PCQ=$\frac{1}{2}$x²-$\sqrt{2}$x+1，
∵当Q点到点C时则P点到达AC的中点，
∴AP的最大值为$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴y=$\frac{1}{2}$x²-$\sqrt{2}$x+1（0≤x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$）． 
（3）△PCQ可能成为等腰三角形．
①当点Q在边DC上，
由PQ²=CQ²得：（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$x）²=（1-$\sqrt{2}$x）²
解得x₁=0，x₂=$\sqrt{2}$（舍去）；
②当点Q在边DC的延长线上时，如图2，

由PC=CQ得：$\sqrt{2}$-x=$\sqrt{2}$x-1，解得x=1．
③当点Q与C点重合，△PCQ不存在．
综上所述，x=0或1时，△PCQ为等腰三角形．

点评 本题主要考查四边形的综合应用，涉及正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质和勾股定理等知识．在（1）中构造三角形全等是解题的关键，在（2）中用x分别表示出△PBC和△PCQ的面积是解题的关键，在（3）中利用分类讨论思想分别得到关于x的方程是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，有一定的难度．