Question

11．如图，已知正方形ABCD，E为AD的中点，连接BE和EC，BE交AC于点P，连接DP，交CE于Q．求证：
（1）△ABP≌△ADP；
（2）DP⊥CE．

Answer 1

分析 （1）利用“SAA”即可证明△ABP≌△ADP；
（2）若要证明DP⊥CE，则问题可转化为证明∠EQD=90°即可．

解答 证明：
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAP=∠DAP=45°，
在△ABP和△ADP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAP=∠DAP=45°}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△ADP；
（2）∵E为AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEB和△CDE中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}\\{∠BAE=∠CDE=90°}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△CDE，
∴∠DEC=∠AEB，
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠ADP+∠DEC=90°，
∴∠EQD=90°，
即DP⊥CE．

点评 本题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定和性质，得出∠EQD=90°是解题关键．