Question

8．如图1，在菱形ABCD中，E是CD上的一点，连接BE交AC于O，连接DO并延长交BC于F．
（1）求证：△FOC≌△EOC．
（2）将此图中的AD、BE分别延长交于点N，作EM∥BC交CN于M，再连接FM即得到图2．
求证：①$\frac{CF}{CB}=\frac{BE}{BN}$；②FD=FM．

Answer 1

分析 （1）可以通过多组三角形全等证得，先根据SAS证明△BCO≌△DCO，得到∠CBO=∠CDO，然后根据ASA证明△BEC≌△DFC，进而可得CF=CE，然后根据SAS即可证明△FOC≌△EOC；
（2）利用EM∥BC来转化比：$\frac{BE}{BN}=\frac{CM}{CN}$，由BC∥AD，可得EM∥AD，可得$\frac{CM}{CN}=\frac{CE}{CD}$，进而可得：$\frac{CE}{CD}=\frac{BE}{BN}$，再利用CE=CF，CD=CB，即可得证$\frac{CF}{CB}=\frac{BE}{BN}$；
由$\frac{CM}{CN}=\frac{CF}{CB}$，得到FM∥BN，再利用EM∥BC，得到四边形FMEB为平行四边形，从而FM=BE=FD．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，∠BCA=∠DCA，BC∥AD，
在△BCO和△DCO中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠BCA=∠DCA}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴△BCO≌△DCO（SAS），
∴∠CBO=∠CDO，
在△BEC和△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBO=∠CDO}\\{BC=CD}\\{∠BCE=∠DCF}\end{array}\right.$，
∴△BEC≌△DFC（ASA），
∴EC=FC，
在△FOC和△EOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{FC=EC}\\{∠BCA=∠DCA}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴△FOC≌△EOC（SAS）；
（2）如图2所示，

∵EM∥BC，BC∥AD，
∴EM∥BC∥AD
∴$\frac{BE}{BN}=\frac{CM}{CN}$，$\frac{CM}{CN}=\frac{CE}{CD}$，
∴$\frac{CE}{CD}=\frac{BE}{BN}$，
∵CE=CF，CD=CB
∴$\frac{CM}{CN}=\frac{CF}{CB}$，
∴$\frac{CF}{CB}=\frac{BE}{BN}$；
∵$\frac{CM}{CN}=\frac{CF}{CB}$
∴FM∥BN
∵EM∥BC
∴四边形FMEB为平行四边形
∴FM=BE
∵BE=DF
∴FD=FM．

点评 此题考查了全等三角形判定与性质及平行线分线段成比例定理，解题的关键是：利用EM∥BC∥AD来转化比：$\frac{BE}{BN}=\frac{CM}{CN}$，$\frac{CM}{CN}=\frac{CE}{CD}$，进而可得：$\frac{CE}{CD}=\frac{BE}{BN}$．