题目内容
17．
如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．（1）求该抛物线的解析式；
（2）在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？若存在，求出D点坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由．
（3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
分析 （1）把A（-1，0）、B（3，0）两点代入y=-x2+bx+c即可求出抛物线的解析式，
（2）设D（t，-t2+2t+3），过点D作DH⊥x轴，根据S△BCD=S梯形OCDH+S△BDH-S△BOC=-$\frac{3}{2}$t2+$\frac{9}{2}$t，即可求出D点坐标及△BCD面积的最大值，
（3）设过点P与BC平行的直线与抛物线的交点为Q，根据直线BC的解析式为y=-x+3，过点P与BC平行的直线为y=-x+5，得Q的坐标为（2，3），根据PM的解析式为：x=1，直线BC的解析式为y=-x+3，得M的坐标为（1，2），设PM与x轴交于点E，求出过点E与BC平行的直线为y=-x+1，根据$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$得点Q的坐标为（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，-$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$），（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，-$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$）．
解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{-9+3b+c=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，则抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，
（2）设D（t，-t2+2t+3），过点D作DH⊥x轴，
则S△BCD=S梯形OCDH+S△BDH-S△BOC=$\frac{1}{2}$（-t2+2t+3+3）t+$\frac{1}{2}$（3-t）（-t2+2t+3）-$\frac{1}{2}$×3×3=-$\frac{3}{2}$t2+$\frac{9}{2}$t，
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴当t=-$\frac{\frac{9}{2}}{2×（-\frac{3}{2}）}$=$\frac{3}{2}$时，D点坐标是（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$），△BCD面积的最大值是$\frac{27}{8}$；
（3）设过点P与BC平行的直线与抛物线的交点为Q，
∵P点的坐标为（1，4），直线BC的解析式为y=-x+3，
∴过点P与BC平行的直线为y=-x+5，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+5}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$得Q的坐标为（2，3），
∵PM的解析式为x=1，直线BC的解析式为y=-x+3，
∴M的坐标为（1，2），
设PM与x轴交于点E，
∵PM=EM=2，
∴过点E与BC平行的直线为y=-x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3+\sqrt{17}}{2}}\\{y=-\frac{1+\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3-\sqrt{17}}{2}}\\{y=-\frac{1-\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$，
∴点Q的坐标为（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，-$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$），（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，-$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$），
∴使得△QMB与△PMB的面积相等的点Q的坐标为（2，3），（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，-$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$），（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，-$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$）．
点评 此题考查了二次函数综合，用到的知识点是二次函数的图象与性质、三角形梯形的面积、直线与抛物线的交点，关键是作出辅助线，求出符合条件的所有点的坐标．
全能练考卷系列答案
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