Question

4．如图1，△ABC与△ADE都是以点A为顶点的等腰三角形，其中AB=AC，AD=AE．
（1）直接写出BD与EC的数量关系是BD=EC．
（2）将图1中的△ADE绕顶点A旋转到图2的位置，连接BD和CE．请问（1）中的数量关系是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请给予证明；
（3）如图2，若BD⊥AD，延长ED交BC于点F，求证：BF=CF．

Answer 1

分析 （1）等量减等量即可求得BD=EC；
（2）先求得∠BAD=∠CAE，然后根据SAS证得△BAD≌△CAE，根据全等三角形对应边相等即可证得BD=EC．
（3）连接AF，先证△AEG∽△FCG，进而可证△AGF∽△EGC，可得∠FAG=∠CEG．由（2）可得∠AEC=90°，代入等量关系可证得∠AFC=90°，最后可知F是BC的中点．

解答 解：（1）∵AB=AC，AD=AE，
∴AB-AD=AC-AE，
即BD=EC，
故答案为：BD=EC；

（2）成立；
理由：如图2，∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=EC．

（3）如图，连接AF，
∵∠AEG=∠FCG=60°，∠EGA=∠CGF，
∴△AEG∽△FCG；
∴$\frac{AG}{FG}=\frac{EG}{CG}$；
∵∠AGF=∠EGC，
∴△AGF∽△EGC，
∴∠FAG=∠CEG
∵由（2）可知△BAD≌△CAE，
∴∠AEC=∠ADB=90°，
∵∠AEC=∠AEG+CEG，
∴∠ACF+FAC=90°，
∴∠AFC=180°-90°=90°，即AF⊥BC．
∵AF是等腰三角形ABC底边上的高，
∴BF=FC．

点评 本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．