Question

3．如图，抛物线C₁：y=（x-2）²的顶点为A，直线AB：y=$\frac{1}{2}$x-1与y轴交于B点．将抛物线C₁沿AB方向平移得到抛物线C₂，顶点为A′，C₂于x轴交于C、D两点，若△A′CD为正三角形，则AA′的长是（　　）

• A． 3$\sqrt{2}$
• B． 3$\sqrt{5}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． 5$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设抛物线C₂的顶点A′坐标是（a，b），根据抛物线的对称性质和一次函数图象上点的坐标特征来求点A′的坐标，则易求AA′的长度．

解答 解：∵抛物线C₁的解析式为y=（x-2）²，
∴其顶点A的坐标是（2，0）．
抛物线C₂的顶点A′坐标是（a，b）（b＜0）．
则抛物线C₂的解析式为y=（x-a）²+b=x²-2ax+a²+b．
∴CD=$\sqrt{（-2a）^{2}-4（{a}^{2}+b）}$．
又∵△A′CD为正三角形，
∴A′C=CD=$\sqrt{（-2a）^{2}-4（{a}^{2}+b）}$．
依题意得 $\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{1}{2}a-1}\\{b=-\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{（-2a）^{2}-4（{a}^{2}+b）}}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=-4}\\{b=-3}\end{array}\right.$．
∴A′（-4，-3）．
∴AA′=$\sqrt{（-4-2）^{2}+（-3）^{2}}$=3$\sqrt{5}$．
故选：B．

点评 本题考查了二次函数图象与几何变换．解题的难点是根据△A′CD为正三角形来求点A′的纵坐标与边CD的数量关系．