Question

13．如图，E为正方形ABCD的BC边上的一点，CG平分∠DCF，连接AE，并在CG上取一点G，使EG=AE，求证：AE⊥EG．

Answer 1

分析 作GH⊥BF于H，先由正方形的性质可得：∠B=∠BCD=∠DCH=90°，AB=BC，然后由CG平分∠DCF，可得∠GCH=45°=∠CGH，进而可得：CH=GH，然后设CH=GH=a，BE=b，CE=c，则：AB=BC=b+c，EH=a+c，由EG=AE，可得EG²=AE²，即EH²+GH²=BE²+AB²，从而可得：（a+c）²+a²=b²+（b+c）²，进而得到：a-b=0，即a=b，所以GH=BE，然后由HL定理证明Rt△EHG≌Rt△ABE，进而得到∠HEG=∠BAE，所以∠HEG+∠BEA=∠BAE+∠BEA=90°，从而可得∠AEG=90°，即AE⊥EG得证．

解答 证明：作GH⊥BF于H．

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠BCD=∠DCH=90°，AB=BC，
∵CG平分∠DCF，
∴∠GCH=45°=∠CGH，
∴CH=GH，
设CH=GH=a，BE=b，CE=c，则：AB=BC=b+c，EH=a+c，
∵EG=AE，
∴EG²=AE²，
即EH²+GH²=BE²+AB²，
∴（a+c）²+a²=b²+（b+c）²，
∴（a-b）（a+b+c）=0，
∵a+b+c＞0，
∴a-b=0，
∴a=b，
即GH=BE，
在Rt△EHG和Rt△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=EG}\\{BE=GH}\end{array}\right.$，
∴Rt△EHG≌Rt△ABE（HL），
∴∠HEG=∠BAE，
∴∠HEG+∠BEA=∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠AEG=90°，
∴AE⊥EG．

点评 此题考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：添加辅助线构造全等三角形．