Question

13．如图所示，在⊙O中，弦AB与DC相交于点E，AB=CD．
（1）求证：△AEC≌△DEB；
（2）连接BC，判断直线OE与BC的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）要证△AEC≌△DEB，由于AB=CD，根据等弦所对的弧相等得$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，根据等量减等量还是等量，得$\widehat{BD}$=$\widehat{CA}$，由等弧对等弦得BD=CA，由圆周角定理得，∠ACE=∠DBE，∠AEC=∠DEB，即可根据AAS判定；
（2）由△AEC≌△DEB得，BE=CE，得到点E在直线BC的中垂线上，连接BO，CO，BO和CO是半径，则BO和CO相等，即点O在线段BC的中垂线上，亦即直线EO是线段BC的中垂线，OE⊥BC．

解答 （1）证明：∵AB=CD，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$．
∴$\widehat{AB}$-$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$-$\widehat{AD}$．
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{CA}$．
∴BD=CA．
在△AEC与△DEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACE=∠DBE}\\{∠AEC=∠DEB}\\{BD=CA}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△DEB（AAS）．

（2）解：OE⊥BC，
如图，连接OB、OC、BC．
由（1）得BE=CE．
∴点E在线段BC的中垂线上，
∵BO=CO，
∴点O在线段BC的中垂线上，
∴OE⊥BC．

点评 本题考查了圆周角定理、等弦所对的弧相等，等弧对等弦、全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．