Question

11．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=-x²+bx+3与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）直线y=kx+3k经过点B，与y轴的负半轴交于点D，点P为第二象限内抛物线上一点，连接PD，射线PD绕点P顺时针旋转与线段BD交于点E，且∠EPD=2∠PDC，∠EPD的平分线交线段BD于点H，∠BEP+∠BDP=90°
①若四边形PHDC是平行四边形，求点P的坐标；
②过点E作EF⊥PD，交PD于点G，交y轴于点F，已知PF=3$\sqrt{2}$，求直线PF的解析式．

Answer 1

分析 （1）把点A的坐标代入抛物线的解析式中可得结论；
（2）①如图1，推出∠BHP=45°，求出直线BD解析式：y=-x-3，求出P点坐标等于（-1，4）；
②如图2，作辅助线，构建矩形和等腰三角形，判断四边形PNDM为矩形得到MD=PN，则DQ=2PN，然后证明△DEQ≌△DEF得到DQ=DF，所以DF=2MD=2PN；再在Rt△PFN中利用勾股定理列方程得出P和F的坐标，根据待定系数法求直线PF的解析式．

解答 解：（1）把A（1，0）代入y=-x²+bx+3中，
-1+b+3=0，解得：b=-2，
∴抛物线的解析式为：y=-x²-2x+3；
（2）如图1，当y=0时，-x²-2x+3=0，
x²+2x-3=0，
（x+3）（x-1）=0，
x₁=-3，x₂=1，
∴B（-3，0），
∵四边形PHDC是平行四边形，
∴PH∥DC，
∴∠EHP=∠EDC，∠HPD=∠PDC，
设∠PDC=x，∠BDP=y，则∠EPH=∠HPD=x，∠EHP=∠EDC=x+y，
∴∠BEP=∠BHP+∠EPH=x+y+x=2x+y，
∵∠BEP+∠BDP=90°，
∴2x+y+y=90°，
x+y=45°，
即∠BHP=45°，
∴∠BDC=45°，
∴△BOD是等腰直角三角形，
∴OB=OD=3=-3k，
k=-1，
∴直线BD的解析式为：y=-x-3，
∵PH⊥x轴，
设P（x，-x²-2x+3），H（x，-x-3），
∴PH=CD=6，
∴-x²-2x+3+x+3=6，
解得：x₁=0（舍），x₂=-1，
∴P（-1，4）；
②如图2，过D作DQ⊥y轴交PE的延长线于Q，直线PH交DQ于M，PN⊥y轴于N，
∵∠PDC=$\frac{1}{2}$∠EPD=∠DPH，
∴PM∥DN，
∵DQ⊥DN，
而PM平分∠QPD，
∴MQ=MD，
易得四边形PNDM为矩形，
∴MD=PN，
∴DQ=2PN，
∵EF⊥PD，
∴∠BDP+∠DEG=90°，
而∠BDP+∠BEP=90°，
∴∠DEG=∠BEP=∠QED，
∵∠BDF=45°，
∴∠QDE=45°，
在△DEQ和△DEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEG=∠QED}\\{ED=ED}\\{∠BDF=∠QDE}\end{array}\right.$，
∴△DEQ≌△DEF（ASA），
∴DQ=DF，
∴DF=2MD=2PN，
设P（x，-x²-2x+3），则PN=DM=-x，DF=-2x，FN=-x²-2x+3+3+2x=-x²+6，
在Rt△PFN中，由勾股定理得：PF²=PN²+FN²，
∴$（3\sqrt{2}）^{2}$=（-x）²+（-x²+6）²，
解得：x₁=$±\sqrt{2}$，x₂=±3，
∵点P为第二象限内抛物线上一点，
∴x=-$\sqrt{2}$，
∴DF=2$\sqrt{2}$，
∴P（-$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$-3），F（0，2$\sqrt{2}$-3），
设PF解析式为：y=kx+b，
把P（-$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$-3），F（0，2$\sqrt{2}$-3）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{2}k+b=2\sqrt{2}-3}\\{b=2\sqrt{2}-3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-2\sqrt{2}}\\{b=2\sqrt{2}-3}\end{array}\right.$，
∴直线PF的解析式为：y=-2$\sqrt{2}$x+2$\sqrt{2}$-3．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求直线和抛物线的解析式，会求抛物线与x轴的交点坐标；理解坐标与图形性质，会应用三角形全等证明线段相等，并与勾股定理相结合，列方程解决问题．