Question

16．观察下列各式：
1×2×3×4+1=25=5²，
2×3×4×5+1=121=11²，
3×4×5×6+1=361=19²，
4×5×6×7+1=841=29²，
…
（1）猜想上面四个算式的规律，并用字母表示出第n个式子；
（2）证明你的猜想的正确性．

Answer 1

分析 （1）等式的左边是连续四个正整数的乘积，再加上1，得数是这四个自然数两端数的乘积加1的平方，据此列式表示即可；
（2）利用整式的乘法展开即可．

解答 解：（1）n（n+1）（n+2）（n+3）+1=[n（n+3）+1]²=（n²+3n+1）²；
（2）左面=n（n+1）（n+2）（n+3）+1
=（n+1）（n+2）n（n+3）+1
=（n²+3n+2）（n²+3n）+1
=（n²+3n）²+2（n²+3n）+1
=（n²+3n+1）²=右边

点评 此题考查数字的变化的规律，注意算式之间的联系，利用特殊推出一般性的结论，再加以证明结论的成立，是数学中常用的方法．