Question

14．如图，已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，求证：AB=AC+BD（要求：用两种方法证明）：
①用割的方法；
②用补的方法．

Answer 1

分析 ①如图（1）在AB上截取AF=AC，连结EF，可证明△ACE≌△AFE，进一步可证明△EFB≌△EDB，再利用全等三角形的性质结合线段的和差可证明结论；
②如图（2），延长BE，与AC的延长线相交于点F，可证明△AEF≌△AEB，进一步可证明△BED≌△FEC，再利用全等三角形的性质结合线段的和差可证明结论．

解答 证明：
①如图（1）在AB上截取AF=AC，连结EF，

在△ACE和△AFE中，
 $\left\{\begin{array}{l}{AC=AF}\\{∠1=∠2}\\{AE=AE}\end{array}\right.$ 
∴△ACE≌△AFE（SAS），
∴∠5=∠C，
∴AC∥BD，
∴∠C+∠D=180°，
∵∠5+∠6=180°，
∴∠6=∠D，
在△EFB和△BDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠6=∠D}\\{∠3=∠4}\\{BE=BE}\end{array}\right.$ 
∴△EFB≌△EDB（AAS），
∴FB=DB，
∴AC+BD=AF+FB=AB；
②如图（2），延长BE，与AC的延长线相交于点F，

∵AC∥BD，
∴∠F=∠4，
∵∠3=∠4，
∴∠F=∠3
在△AEF和△AEB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠3}\\{∠1=∠2}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AEB（AAS），
∴AB=AF，BE=FE，
在△BED和△FEC中，
 $\left\{\begin{array}{l}{∠5=∠6}\\{BE=FE}\\{∠4=∠F}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△FEC（ASA），
∴BD=FC，
∴AB=AF=AC+CF=AC+BD．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应角相等、对应边相等）是解题的关键．