Question

3．如图1是一种折叠式可凋节钓鱼竿支架的示意图，AE是地插，用来将支架固定在地面上，支架AB可绕A点前后转动，用来调节AB与地面的夹角，支架CD可绕支点C前后转动，用来调节CD与AB的夹角，支架CD带有伸缩调节长度的功能．
（1）若支架CD与地面垂直，钓鱼竿DB与地面AF平行，AC=30cm，BC=60cm，CD=40cm，则钓鱼竿BD距地面的高度为60cm；
（2）如图2，保持（1）中支架AB与地面的夹角不变，凋节支架CD与AB的夹角，使得∠DCB=90°，若要使钓鱼竿DB与地面AF仍然保持平行，则支架CD的长度应该调节为多少？（结果保留根号）

Answer 1

分析 （1）由平行得：∠DBC=∠CAG，根据等角的三角函数列式，求CG的长，距离为DG可求；
（2）由（1）的结论，根据∠HCB=∠CDB，cos∠HCB=cos∠CDB=$\frac{CH}{BC}=\frac{DH}{DC}$，设DH=2x，DC=3x，
由勾股定理列方程可得结论．

解答 解：（1）如图1，延长DC交AF于G，
∵CD⊥BD，BD∥AF，
∴CD⊥AF，∠DBC=∠CAG，
sin∠DBC=sin∠CAG=$\frac{CD}{BC}=\frac{CG}{AC}$，
∴$\frac{40}{60}=\frac{CG}{30}$，
∴CG=20，
∴DG=40+20=60，
即钓鱼竿BD距地面的高度为60cm；
故答案为：60；
（2）如图2，过C作GH⊥BD，交BD于H，交AF于G，则GH⊥AF，
由（1）得：CH=40，BC=60，
∵∠BCD=90°，
∴∠CDB+∠DBC=90°，
∵∠HCB+∠DBC=90°，
∴∠HCB=∠CDB，
cos∠HCB=cos∠CDB=$\frac{CH}{BC}=\frac{DH}{DC}$，
∴$\frac{40}{60}=\frac{DH}{DC}=\frac{2}{3}$，
设DH=2x，DC=3x，
由勾股定理得：（2x）²+40²=（3x）²，
x=$±8\sqrt{5}$，
∵x＞0，
∴x=8$\sqrt{5}$，
∴CD=3x=24$\sqrt{5}$，
答：支架CD的长度应该调节为24$\sqrt{5}$cm．

点评 本题是解直角三角形的应用问题，考查了三角函数、勾股定理、平行线的性质，熟练掌握三角函数的定义是关键．