Question

4．如图，OA=OB，AC=BD，且OA⊥AC，OB⊥BD，M是CD中点．求证：OM是CD的垂直平分线．

Answer 1

分析 连接OC，OD，根据OA=OB，AC=BD，且OA⊥AC，OB⊥BD可得出OC=OD，再由M是CD中点得出CM=DM，根据SSS定理得出△OCM≌△ODM，进而可得出结论．

解答 证明：连接OC，OD，
∵OA=OB，AC=BD，且OA⊥AC，OB⊥BD，
∴△OAC与△OBD是直角三角形，
∴OC=OD．
∵M是CD中点，
∴CM=DM．
在△OCM与△ODM中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{OC=OD}\\{OM=OM}\\{CM=DM}\end{array}\right.$，
∴△OCM≌△ODM（SSS），
∴∠OMC=∠OMD=90°，即OM是CD的垂直平分线．

点评 本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．