Question

4．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，下面四个结论：①DA平分∠EDF；②EB=FC；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等，其中正确的结论有①②③④．（填序号）

Answer 1

分析 根据角平分线性质和垂直得出DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，∠BED=∠CFD=90°，证Rt△AED≌Rt△AFD，根据全等得出AE=AF，∠EDA=∠FDA，根据角平分线的性质求出AD上的点到B、C两点的距离相等，AD上的点到AE、AF距离相等，即可得出答案．

解答 解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，∠BED=∠CFD=90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，∠EDA=∠FDA，∴①正确；
∵AB=AC，AE=AF，
∴BE=CF，∴②正确；
∵在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴AD上的点到B、C两点的距离相等，∴③正确；
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD上的点到AE、AF距离相等，
∵∠EDA=∠FDA，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD上的点到DE、DF距离相等，∴④正确；
故答案为：①②③④．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线性质的应用，能正确运用定理进行推理是解此题的关键．