Question

2．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（$\sqrt{5}$，2）．
（1）求k的值；
（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的一个顶点恰好落在函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的图象上时，求菱形ABCD平移的距离．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质和D的坐标即可求出A的坐标，代入求出即可；
（2）B和D可能落在反比例函数的图象上，根据平移求出即可．

解答 解：（1）作DE⊥BO，DF⊥x轴于点F，
∵点D的坐标为（$\sqrt{5}$，2），
∴DO=AD=3，
∴A点坐标为：（$\sqrt{5}$，5），
∴k=5$\sqrt{5}$；                     
（2）∵将菱形ABCD向右平移，使点D落在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上D′，
∴DF=D′F′=2，
∴D′点的纵坐标为2，设点D′（x，2）
∴2=$\frac{5\sqrt{5}}{x}$，解得x=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，
∴FF′=OF′-OF=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$-$\sqrt{5}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴菱形ABCD平移的距离为$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
同理，将菱形ABCD向右平移，使点B落在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，
菱形ABCD平移的距离为$\frac{5}{3}$$\sqrt{5}$，
综上，当菱形ABCD平移的距离为$\frac{3\sqrt{5}}{2}$或$\frac{5\sqrt{5}}{3}$时，菱形的一个顶点恰好落在函数图象上．

点评 本题考查了菱形的性质，反比例函数图形上点的坐标特点，坐标与图形性质和平移等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键．