Question

【题目】如图，在中，，，是等边三角形，点在边上．

（1）如图1，当点在边上时，求证；

（2）如图2，当点在内部时，猜想和数量关系，并加以证明；

（3）如图3，当点在外部时，于点，过点作，交线段的延长线于点，，.求的长．

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2），理由见详解

【解析】

(1)根据等边三角形的性质及外角的性质可得，根据等腰三角形的判定定理证明；
(2) 取的中点，连接、，分别证明和，根据全等三角形的性质证明；

(3) 取的中点，连接、、，根据（2）的结论得到，根据全等三角形的性质解答.

（1）证明：∵是等边三角形，

∴，

∴，

∴，

∴；

（2）解：，理由如下：取的中点，连接、，

∵，

∴，，

∴为等边三角形，

∴，

∵是等边三角形，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴；

（3）、取的中点，连接、、，

由（2）得，

∴，

∴，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

设，则，，

∴，

∵，

∴，

解得，，

即.