Question

5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，从左向右依次作正方形CNDM，正方形MKEH，正方形HPFG．已知正方形CNDM的边长为10，正方形MKEH的边长为8．
（1）求正方形HPFG的边长；
（2）写出第四个正方形的边长，从第三个正方形起，第p个正方形的边长是多少？直接写出结果．

Answer 1

分析 （1）由条件可证明△DKE∽△EPF，再结合正方形的性质，可分别表示出DK、PE，代入可求得PF，可得到答案；
（2）由已知条件DN=10=10×（$\frac{4}{5}$）⁰，KE=8=10×（$\frac{4}{5}$）¹，PF=$\frac{32}{5}$=10×（$\frac{4}{5}$）²，找到规律第n个正方形的边长=10×（$\frac{4}{5}$）^n-1，从而求解．

解答 解：∵四边形NCMD、四边形KMHE均为正方形，
∴∠DKE=∠DKE，KE∥PF，
∴∠DEK=∠EFP，
∴△DKE∽△EPF，
∴$\frac{DK}{PE}$=$\frac{KE}{PF}$，
又∵DK=10-8=2，KE=8，PE=8-PF，
∴$\frac{2}{8-PF}$=$\frac{8}{PF}$，
解得PF=$\frac{32}{5}$，
即正方形HGFP的边长为$\frac{32}{5}$；

（2）∵DN=10=10×（$\frac{4}{5}$）⁰，
KE=8=10×（$\frac{4}{5}$）¹，
PF=$\frac{32}{5}$=10×（$\frac{4}{5}$）²，
∴第四个正方形的边长=10×（$\frac{4}{5}$）³=$\frac{128}{25}$，
∴第n个正方形的边长=10×（$\frac{4}{5}$）^n-1，
∴从第三个正方形起，第p个正方形的边长=10×（$\frac{4}{5}$）^p+2．

点评 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似三角形对应边成比例找出后面正方形的边长与第一个正方形的边长的关系．