Question

6．如图，直线y=-x+5与x、y轴分别交于点A、B，抛物线y=-x²+bx+c的顶点在直线AB上，且经过另一点（2，3）
（1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线与x轴的负半轴交于点C，在直线y=-x+5有一点E，使△ABO与△ACE相似，求出点E的坐标．
（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点P，使△APC的面积等于△ACE的面积？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的顶点坐标为（t，-t+5），利用顶点式得到y=-（x-t）²-t+5，然后把（2，3）代入求出t的值即可得到抛物线解析式；
（2）根据坐标轴上点的坐标特征确定B（0，5）、A（5，0），C（-1，0），则可判断△AOB为等腰直角三角形，所以∠BAO=45°，然后分类讨论：作CF⊥AB于F，如图1，则△ACE为等腰直角三角形，所以△AOB∽△ACE，根据等腰直角三角形的性质得EF=$\frac{1}{2}$AC=3，于是得到E点坐标为（2，3）；过点C作CE⊥x轴交直线y=-x+5于E点，如图2，易得E（-1，6），可证明△AOB∽△ACE；
（3）设P（x，-x²+2x+3），分类讨论：当E（2，3）时，利用三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$•6•（x²-2x-3）=9，解得x₁=1+$\sqrt{7}$，x₂=1-$\sqrt{7}$，于是得到P点坐标为（1+$\sqrt{7}$，-3）或（1-$\sqrt{7}$，-3）；当E（-1，6）时，利用三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$•6•（x²-2x-3）=18，解得x₁=1+$\sqrt{10}$，x₂=1-$\sqrt{10}$，于是得到P点坐标为（1+$\sqrt{10}$，-6）或（1-$\sqrt{10}$，-6）．

解答 解：（1）设抛物线的顶点坐标为（t，-t+5），
则抛物线解析式为y=-（x-t）²-t+5，
把（2，3）代入得-（2-t）²-t+5=3，
整理得t²-3t+2=0，解得t₁=1，t₂=2（舍去），
所以抛物线解析式为y=-（x-1）²-1+5，即y=-x²+2x+3；
（2）当x=0时，y=-x+5=5，则B（0，5）；当y=0时，-x+5=0，解得x=5，则A（5，0），
当y=0时，-x²+2x+3，解得x₁=1，x₂=3，则C（-1，0），
∵OA=OB=5，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴∠BAO=45°，
作CF⊥AB于F，如图1，则△ACE为等腰直角三角形，△AOB∽△ACE，
∴EF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$（5+1）=3，
∴E点坐标为（2，3），
过点C作CE⊥x轴交直线y=-x+5于E点，如图2，当x=-1时，y=-x+5=6，则E（-1，6），
∵CE∥OB，
∴△AOB∽△ACE，
综上所述，点E的坐标为（-1，6）或（2，3）；
（3）存在．
设P（x，-x²+2x+3），
当E（2，3）时，S_△ACE=$\frac{1}{2}$×6×3=9，
∵△APC的面积等于△ACE的面积，
∴$\frac{1}{2}$•6•（x²-2x-3）=9，解得x₁=1+$\sqrt{7}$，x₂=1-$\sqrt{7}$，
此时P点坐标为（1+$\sqrt{7}$，-3）或（1-$\sqrt{7}$，-3）；
当E（-1，6）时，S_△ACE=$\frac{1}{2}$×6×6=18，
∵△APC的面积等于△ACE的面积，
∴$\frac{1}{2}$•6•（x²-2x-3）=18，解得x₁=1+$\sqrt{10}$，x₂=1-$\sqrt{10}$，
此时P点坐标为（1+$\sqrt{10}$，-6）或（1-$\sqrt{10}$，-6）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图形上点的坐标特征和求二次函数解析式；理解坐标与图形性质，记住三角形的面积公式；会灵活运用等腰直角三角形的性质；会运用分类讨论思想解决数学问题．