Question

15．如图，△ABC中，$\frac{DC}{DB}$=$\frac{EA}{EC}$=$\frac{FB}{FA}$=$\frac{1}{2}$，求$\frac{△GHI的面积}{△ABC的面积}$的值．

Answer 1

分析 作DK∥AB交FC于K，根据题意得到△ADC的面积与△ABC的面积的关系，根据平行线分线段成比例定理得到$\frac{DG}{GA}$=$\frac{DK}{AF}$=$\frac{1}{6}$，得到△CDG的面积与△ADC的面积的关系，结合图形计算得到答案．

解答 解：作DK∥AB交FC于K，
∵$\frac{DC}{DB}$=$\frac{1}{2}$，
∴△ADC的面积=$\frac{1}{3}$×△ABC的面积，
同理△ABE的面积=△BFC的面积=$\frac{1}{3}$×△ABC的面积，
∵DK∥AB，$\frac{DC}{DB}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{DK}{BF}$=$\frac{1}{3}$，又$\frac{FB}{FA}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{DK}{AF}$=$\frac{1}{6}$，
∵DK∥AB，
∴$\frac{DG}{GA}$=$\frac{DK}{AF}$=$\frac{1}{6}$，
∴△CGD的面积=$\frac{1}{7}$×△ADC的面积=$\frac{1}{21}$×△ABC的面积，
同理，△BFI的面积=△AEH的面积═$\frac{1}{21}$×△ABC的面积，
∴△GHID的面积+3×$\frac{1}{3}$×△ABC的面积=△ABC的面积+3×$\frac{1}{21}$×△ABC的面积，
∴$\frac{△GHI的面积}{△ABC的面积}$=$\frac{1}{7}$．

点评 本题考查的是平行线分线段成比例定理和三角形面积的计算，灵活运用平行线分线段成比例定理、找准对应关系、理解等高的两个三角形的面积之比等于两底的比是解题的关键．