Question

17．如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE=BE，D是AE上的一点，且DE=CE，连结BD、CD．
（1）判断BD与AC的位置关系和数量关系，并证明；
（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化？并证明；
（3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，求BD与AC夹角的度数．

Answer 1

分析 （1）先判断出∠BED=∠AEC=90°，再判定△DBE≌△CAE，再判断∠ADF+∠CAE=90°，
（2）先判断出△BED≌△AEC，再得到∠BFC=∠ACD+∠CDE+∠BDE=∠ACD+∠CDE+∠ACE=90°，
（3）先判断出∠BED=∠AEC，再判断出△BED≌△AEC，最后计算即可．

解答 解：（1）BD与AC的位置关系是：BD⊥AC，数量关系是BD=AC．
理由如下：
延长BD交AC于点F．
∵AE⊥BC于E，
∴∠BED=∠AEC=90°．
∵AE=BE，DE=CE，
∴△DBE≌△CAE，
∴BD=AC，∠DBE=∠CAE，∠BDE=∠ACE．
∵∠BDE=∠ADF，
∴∠ADF=∠ACE．
∵∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠ADF+∠CAE=90°，
∴BD⊥AC．
（2）①∵∠AEB=∠DEC=90°，
∴∠AEB+∠AED=∠DEC+∠AED，
即∠BED=∠AEC．
∵AE=BE，DE=CE，
∴△BED≌△AEC，
∴BD=AC，∠BDE=∠ACE，∠DBE=∠CAE．
∵∠BFC=∠ACD+∠CDE+∠BDE=∠ACD+∠CDE+∠ACE=90°，
∴BD⊥AC．
②BD与AC的数量关系是：BD=AC．
∵△ABE和△DCE是等边三角形，
∴∠AEB=∠ABE=60°，AE=BE，
∠DEC=∠DCE=60°，DE=CE，
∴∠AEB+∠AED=∠DEC+∠AED，
∴∠BED=∠AEC，
∴△BED≌△AEC．
∴BD=AC．
（3）∵△ABE和△DEC是等边三角形，
∴AE=BE，DE=EC，∠EDC=∠DCE=60°，∠BEA=∠DEC=60°，
∴∠BEA+∠AED=∠DEC+∠AED，
∴∠BED=∠AEC，
在△BED和△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=AE}\\{∠BED=∠AEC}\\{DE=EC}\end{array}\right.$
∴△BED≌△AEC，
∴∠BED=∠ACE，
∴∠DFC=180°-（∠BDE+∠EDC+∠DCF）=60°
∴BD与AC的夹角度数为60°或120°．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，判断垂直的方法，解本题的关键是判断△DBE≌△CAE．