Question

12．Rt△ABC与Rt△FED是两块全等的含30°、60°角的三角板，按如图1所示拼在一起，CB与DE重合．
（1）四边形ABFC是平行四边形吗？为什么？
（2）取BC中点O，将△ABC绕点O顺时钟方向旋转90°到如图2中的△A′B′C′位置，直线B′C′与AB、CF分别相交于Q、P两点，猜想四边形CQBP的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，将△ABC绕点O顺时钟方向继续旋转到如图3中的△A′B′C′位置，请说明四边形CQBP是什么类型的四边形，并求出∠COP的度数．

Answer 1

分析 （1）证明AC∥BF且AC=BF即可证得；
（2）首先证明△PCO≌△QBO证得OP=OQ，然后根据菱形的定义证得；
（3）首先证明四边形CQBP是平行四边形，然后根据等边对等角求得∠OPC的度数，进而求解．

解答 解：（1）四边形ABFC是平行四边形．
∵∠ACB=∠EDF=90°，
∴AC∥BF，
∵AC=BF，
∴四边形ABFC是平行四边形；
（2）四边形CQBP是菱形．
∵AB∥CF，
∴∠CPQ=∠PQB，
在△PCO和△QBO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CPQ=∠PQB}\\{∠PCB=∠CBQ}\\{OC=OB}\end{array}\right.$，
又∵∠PCB=∠CBQ=30°，OC=OB，
∴△PCO≌△QBO，
∴OP=OQ，
∴四边形CQBP是平行四边形．
∵∠COP=90°
∴四边形CQBP是菱形．
（3）∵△PCO≌△QBO，OP=OQ
∴四边形CQBP是平行四边形，
又∵CB=PQ
∴四边形CQBP是矩形．
∵OC=OP，∠OCP=30°
∴∠OPC=30°
∴∠COP=180°-∠COP-∠OPC=120°．

点评 本题考查了全等三角形判定，正确证明四边形ABFC是平行四边形是关键．