Question

4．已知抛物线C₁的函数解析式为y=ax²-2x-3a，若抛物线C₁经过点（0，-3）．
（1）求抛物线C₁的顶点坐标．
（2）已知实数x＞0，请证明x+$\frac{1}{x}$≥2，并说明x为何值时才会有x+$\frac{1}{x}$=2；
（3）若将抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C₂，设A（m，y₁），B（n，y₂）是C₂上的两个不同点，且满足：∠AOB=90°，m＞0，n＜0．请你用含m的表达式表示出△AOB的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式．
（参考公式：在平面直角坐标系中，若P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则P，Q两点间的距离为$\sqrt{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}+（{y}_{2}-{y}_{1}）^{2}}$）

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求解析式，配方成顶点式后写出顶点坐标即可；
（2）利用平方的非负性可知：x+$\frac{1}{x}$-2=（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）²≥0，移项可得结论；
（3）如图所示，根据平移的原则得出C₂的解析式为：y=x²则A（m，m²），B（n，n²），利用勾股定理列式得：OA²+OB²=AB²，即m²+m⁴+n²+n⁴=（m-n）²+（m²-n²）²化简得：m n=-1，代入面积公式：S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{m}^{2}+{m}^{4}}$•$\sqrt{{n}^{2}+{n}^{4}}$，$\frac{1}{2}$（m+$\frac{1}{m}$）≥$\frac{1}{2}$×2=1，从而得出结论．

解答 解：（1）∵抛物线过（0，-3）点，
∴-3a=-3，
∴a=1，
∴y=x²-2x-3，
∴y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴抛物线C₁的顶点坐标为（1，-4）；

（2）∵x＞0，
∴x+$\frac{1}{x}$-2=（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）²≥0，
∴x+$\frac{1}{x}$≥2，
显然当x=1时，才有x+$\frac{1}{x}$=2；

（3）如图所示，由平移知识易得C₂的解析式为：y=x²，
∴A（m，m²），B（n，n²），
∵△AOB为Rt△，
∴OA²+OB²=AB²，
∴m²+m⁴+n²+n⁴=（m-n）²+（m²-n²）²化简得：m n=-1，
∵S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{m}^{2}+{m}^{4}}$•$\sqrt{{n}^{2}+{n}^{4}}$，
∵m n=-1，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2+{m}^{2}+{n}^{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2+{m}^{2}+\frac{1}{{m}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（m+\frac{1}{m}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$（m+$\frac{1}{m}$）≥$\frac{1}{2}$×2=1，
∴S_△AOB的最小值为1，此时m=1，A（1，1），
∴直线OA的一次函数解析式为y=x．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、抛物线平移的原则、平方的非负性、三角形面积及两点间距离公式的应用，难度适中．