Question

17．如图，E、F分别是?ABCD的一组对边AD、BC的中点，连接AF、BE相交于点G，EC、DF交于点H
（1）求证：①四边形EGFH是平行四边形；②GH=$\frac{1}{2}$BC；
（2）若将“E、F是AD、BC的中点”改为“AE=BF”，其他条件不变，画出相应图形，并解析出（1）中的两个结论是否还成立？不用证明．

Answer 1

分析 （1）①可分别证明四边形AFCE是平行四边形，四边形BFDE是平行四边形，从而得出GF∥EH，GE∥FH，即可证明四边形EGFH是平行四边形；
②根据已知条件得到AE=$\frac{1}{2}$AD，BF=$\frac{1}{2}$BC，于是得到AE=BF，由AE∥BF，得到四边形ABFE是平行四边形，根据平行四边形的性质得到EG=BG，同理EH=CH，根据三角形的中位线定理得到结论；
（2）根据已知条件证得四边形ABFE是平行四边形，根据平行四边形的性质得到EG=BG，同理EH=CH，根据三角形的中位线定理得到②成立；不能证明四边形AFCE不是平行四边形，四边形不是BFDE是平行四边形，从而得出GF不平行EH，GE不平行FH，于是得到四边形EGFH不是平行四边形，①不成立．

解答 （1）证明：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC．
∵AE=$\frac{1}{2}$AD，FC=$\frac{1}{2}$BC，
∴AE∥FC，AE=FC．
∴四边形AECF是平行四边形．
∴GF∥EH．
同理可证：ED∥BF且ED=BF．
∴四边形BFDE是平行四边形．
∴GE∥FH．
∴四边形EGFH是平行四边形；
②∵AE=$\frac{1}{2}$AD，BF=$\frac{1}{2}$BC，
∴AE=BF，∵AE∥BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴EG=BG，
同理EH=CH，
∴GH=$\frac{1}{2}$BC；

（2）如图，由四边形ABCD是平行四边形，
得到AD∥BC，AD=BC．
因为AE=BF，所以DE=CF，
由于AE∥BF，DE∥CF，
于是得到四边形ABFE是平行四边形．
四边形EFCD是平行四边形，于是得到EG=BG，EH=CH，
所以GH=$\frac{1}{2}$BC，
由于AE≠CF，
所以四边形AFCE不是平行四边形，
所以GF不平行EH，
同理EG不平行FH，
所以四边形EGFH 不是平行四边形，
所以（1）中的①不成立，②成立．

点评 本题考查了平行四边形的判定和性质，证明四边形AECF和BFDE是平行四边形是关键．