Question

已知：关于x的一元二次方程mx²﹣（4m+1）x+3m+3="0" （m＞1）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x₁，x₂（其中x₁＞x₂），若y是关于m的函数，且y=x₁﹣3x₂，求这个函数的解析式；
（3）将（2）中所得的函数的图象在直线m=2的左侧部分沿直线m=2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当关于m的函数y=2m+b的图象与此图象有两个公共点时，b的取值范围．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）；（3）．

解析试题分析：（1）本题的突破口在于利用△，化简得出得出△＞0，从而方程有两个不相等的实数根．
（2）由求根公式得出x的解，由y=x₁﹣3x₂，求出关于m的解析式．
（3）作出函数的图象，并将图象在直线m=2左侧部分沿此直线翻折，所得新图形如图所示，易知点A、B的坐标分别为，求出直线过点A、B时的的值，二者之间即为所求．
（1），
∵m＞1，
∴
∴方程有两个不等实根．
（2）
∴两根分别为．
∵m＞1，
∴，即．
∵，
∴．
∴．
（3）作出函数的图象，并将图象在直线m=2左侧部分沿此直线翻折，所得新图形如图所示，易知点A、B的坐标分别为．
当直线过点A时，；
当直线过点B时，．
∴．

考点：1．一次函数和反比例函数综合题；2．一元二次方程根的判别式；3．解一元二次方程；4．翻折对称的性质．